Formules de Progression Géométrique Exemples Calcul

Formules de Progression Géométrique

Le n-ième terme d'une PG :

La formule pour calculer le n-ième terme d'une progression géométrique est :

T_n = ar^n-1

où :

• T_n : Le n-ième terme
• a : Premier terme
• r : Raison (rapport entre les termes successifs)
• n : Position du terme dans la progression

Exemple de calcul :

Si le premier terme (a) est de 2, la raison (r) est de 3, et nous voulons le 5^ème terme (n=5), alors :

T₅ = 2 × 3^5-1 = 162

Raison Commune :

La formule pour calculer la raison commune d'une progression géométrique est :

r = T_n / T_n-1

où :

• r : Raison commune
• T_n : Le n-ième terme
• T_n-1 : Le terme précédent

Exemple de calcul :

Si le 4^ème terme (T₄) est 81 et le 3^ème terme (T₃) est 27, alors :

r = 81 / 27 = 3

Somme des n termes d'une PG :

La formule pour calculer la somme des n termes d'une progression géométrique est :

Si r ≠ 1 et r > 1:

Sn = a[(rⁿ – 1)/(r – 1)]

Si r ≠ 1 et r < 1:

Sn = a[(1 – rⁿ)/(1 – r)]

où :

• Sn : Somme des n termes
• a : Premier terme
• r : Raison (rapport entre les termes successifs)
• n : Nombre de termes

Exemple de calcul :

Si le premier terme (a) est de 5, la raison (r) est de 2, et nous avons 4 termes (n=4), alors :

Sn = 5[(2⁴ – 1)/(2 – 1)] = 155

Exercices de Progression Géométrique :

1. Trouvez le 6^ème terme d'une PG avec un premier terme de 3 et une raison de 4.

2. Calculez la somme des 8 premiers termes d'une PG avec un premier terme de 2 et une raison de 0.5.

Problèmes à Résoudre impliquant la Progression Géométrique :

1. Si le 5^ème terme d'une PG est 48 avec un premier terme de 12, quelle est la raison?

2. La somme des 10 premiers termes d'une PG est de 511. Si le premier terme est de 1, quelle est la raison?